Zusatzübungen zur Prüfungsvorbereitung
Eine Musikerin plant, ein neues Album herauszubringen, und hat zehn Songs aufgenommen. Sie überlegt jedoch, in welcher Reihenfolge die Songs auf der CD angeordnet werden sollen. Wenn die Gesamtspielzeit des Albums 47 Minuten beträgt, wie lange würde es dauern, sich alle möglichen Anordnungen der zehn Songs anzuhören?
\[47 \cdot 10! = 170553600 \text{ Minuten.}\]
Ein Hersteller von Frozen-Joghurt-Maschinen bezieht die Rührwerke für die produzierten Maschinen von drei unterschiedlichen Zulieferern. Die folgende Tabelle zeigt für jeden Zulieferer dessen Anteil an den gelieferten Rührwerken sowie den Anteil der defekten Rührwerke.
| Zulieferer | Anteil (%) | % defekte Rührwerke |
|---|---|---|
| \(Z_1\) | 20% | 6% |
| \(Z_2\) | 30% | 4% |
| \(Z_3\) | 50% | 9% |
| Summe | 100% |
\[\text{P(defekt)}= 0.2 \cdot 0.06 + 0.3 \cdot 0.04 + 0.5 \cdot 0.09 = 6.9\%\]
\[\text{P(von Zulieferer 3| defekt)} = \frac{0.5 \cdot 0.09}{0.069} \approx 65.22\%\]
Ein fairer Würfel wird fünf Mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten Sie genau zwei 6er bei diesen fünf Würfen?
Mit Binomialverteilung: \[\text{P(2 Treffer bei 5 Versuchen)=}\binom{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{6} \right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6} \right)^3 \approx 16.08\%\]
Im Kühlregal eines Supermarkts befinden sich 20 Pizzen, von denen leider bei 5 das Mindesthaltbarkeitsdatum bereits deutlich überschritten wurde. Da Sie einen Filmabend mit Freunden planen, kaufen Sie (ohne auf das Ablaufdatum zu achten) 4 Pizzen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei genau einer der 4 gekauften Pizzen das Mindesthaltbarkeitdatum überschritten wurde.
Mit hypergeometrischer Verteilung (“Ziehen ohne Zurücklegen”):
\[\text{P(1 abgelaufene Pizza)} = \frac{\binom{5}{1} \cdot \binom{15}{3} }{\binom{20}{4}} \approx 46.96\%\]
An insurance sales representative sells policies to 5 men, all of identical age and in good health. According to the actuarial tables, the probability that a man of this particular age will still be alive in 30 years is \(\frac{2}{3}\). Find the probability that in 30 years exactly 4 men will be alive.
\[\text{P(4 Treffer bei 5 Versuchen)=}\binom{5}{4} \cdot \left(\frac{2}{3} \right)^4 \cdot \left(\frac{1}{3} \right)^1 \approx 32.92\%\]
The time required to assemble an electronic device is normally distributed with a mean of 12 minutes and a standard deviation of 1.5 minutes. Find the probability (using the z-table) that a particular assembly takes…
Aufgabe a) \[z = \frac{11-12}{1.5} \approx -0.67 \text{ und } \Phi{(-0.67)} = 25.14\%\]
Aufgabe b) \[z = \frac{14-12}{1.5} = 1.33 \text{ und } 1 - \Phi{(1.33)} = 1 - 0.9082 = 9.18\%\]
Die Füllmenge X von Edelspirituosen unterliegt produktionsbedingt natürlichen Schwankungen. Diese Füllmenge sei normalverteilt mit \(\mu=51\) cl und \(\sigma=1\) cl, also \(X \sim N(51,1)\). Berechnen Sie die Wahscheinlichkeit, dass eine Füllmenge von 48.75 cl unterschritten wird.
\[z = \frac{48.75 - 51}{1} = - 2.25 \text{ und } \Phi(-2.25) = 1.22\%\]
Von einer Maschine werden 75% der erzeugten Bauteile von der Qualitätskontrolle akzeptiert. Eine Änderung des Produktionsprozesses (in der Hoffnung, diese Rate zu erhöhen) liefert nun in einer Stichprobe von 30 Bauteilen 28 ohne Beanstandung der Qualität. Handelt es sich hierbei um eine signifikante Verbesserung? Testen Sie die Hypothese bei \(\alpha\) = 5% mit einem Binomialtest. Entscheiden Sie sich für oder gegen die Änderung des Produktionsprozesses?
binom.test(x=28, n=30, p=0.75, alternative="greater")
Exact binomial test
data: 28 and 30
number of successes = 28, number of trials = 30, p-value = 0.0106
alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.75
95 percent confidence interval:
0.804674 1.000000
sample estimates:
probability of success
0.9333333 Oder “händisch”:
\[\sum_{k=28}^{30} \binom{30}{k} \cdot 0.75^k \cdot 0.25^{30-k}=0.0106\]
Es gibt statistisch signifikante Evidenz dafür, dass die Änderung des Produktionsprozesses die Akzeptanzrate erhöht. Verwirf daher die \(H_0\).
Sie beraten einen Hersteller von Seifenprodukten bei der Wahl eines ansprechenden Verpackungsdesigns. Sie bieten alle drei Designs in einem Drogeriefachhandel an. Der Hersteller beschäftigt sich mit der Frage, ob die Farbe der Verpackung Auswirkungen auf die Verkaufszahlen hat. Hierzu prüfen Sie die Hypothese, dass alle Farben gleich beliebt sind (\(\alpha=5\%\)). Nach der Einführungsphase erhalten Sie die Tabelle mit folgenden Verkaufszahlen:
anzahl <- c(116, 83, 101)
names(anzahl) <- c("weiß", "beige", "zitronengelb")
print(anzahl) weiß beige zitronengelb
116 83 101 chisq.test(anzahl, p=c(1/3, 1/3, 1/3), correct=F)
Chi-squared test for given probabilities
data: anzahl
X-squared = 5.46, df = 2, p-value = 0.06522Sie beraten ein Unternehmen im Waldviertel, welches Mohnspezialitäten herstellt und diese in Geschenkboxen als Mitbringsel für Touristen verkauft. Sie wollen wissen, ob unterschiedliche Verpackungsdesigns bei den Touristen unterschiedlich beliebt sind. Folgende Designs werden angeboten: A: Geschenkkorb, B: Geschenkbox aus Fichtenholz, C: Plastikbox, D: Jutesäckchen).
Sie erhalten folgende Daten (Verkaufszahlen nach einer Woche):
| Design | Design A | Design B | Design C | Design D |
|---|---|---|---|---|
| Stück verkauft | 110 | 115 | 75 | 100 |
Testen Sie die Nullhypothese “alle Designs sind gleich beliebt” bei \(\alpha=\) 5%.
x <- c(110, 115, 75, 100)
names(x) <- c("Design A", "Design B", "Design C", "Design D")
xDesign A Design B Design C Design D
110 115 75 100 chisq.test(x, p=c(0.25, 0.25, 0.25, 0.25))
Chi-squared test for given probabilities
data: x
X-squared = 9.5, df = 3, p-value = 0.02333Oder händisch: \(\displaystyle \sum_{j=1}^4 \frac{(o_j - e_j)^2}{e_j} = 9.5\), Vergleich mit dem kritischen Wert 7.815. Entscheidung: 9.5 > 7.815, daher \(H_0\) verwerfen. Nicht alle Designs sind gleich beliebt.
Versuchen Sie bei einigen Durchgängen, die Korrelation zu erraten: