anzahl <- c(116, 83, 101)
names(anzahl) <- c("weiß", "beige", "zitronengelb")
print(anzahl) weiß beige zitronengelb
116 83 101 Sommerkurs Statistik
Zusatzübungen zur Prüfungsvorbereitung
1 Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit, Bayes
1.1 Aufgabe 1: CD 💿
Eine Musikerin plant, ein neues Album herauszubringen, und hat zehn Songs aufgenommen. Sie überlegt jedoch, in welcher Reihenfolge die Songs auf der CD angeordnet werden sollen. Wenn die Gesamtspielzeit des Albums 47 Minuten beträgt, wie lange würde es dauern, sich alle möglichen Anordnungen der zehn Songs anzuhören?
1.2 Aufgabe 2: Frozen-Joghurt-Maschinen 🍦
Ein Hersteller von Frozen-Joghurt-Maschinen bezieht die Rührwerke für die produzierten Maschinen von drei unterschiedlichen Zulieferern. Die folgende Tabelle zeigt für jeden Zulieferer dessen Anteil an den gelieferten Rührwerken sowie den Anteil der defekten Rührwerke.
| Zulieferer | Anteil (%) | % defekte Rührwerke |
|---|---|---|
| \(Z_1\) | 20% | 6% |
| \(Z_2\) | 30% | 4% |
| \(Z_3\) | 50% | 9% |
| Summe | 100% |
- Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Rührwerk defekt?
- Ein Rührwerk ist defekt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt es von Zulieferer \(Z_2\)?
2 Verteilungen
2.1 Aufgabe 3: Würfeln 🎲
Ein fairer Würfel wird fünf Mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten Sie genau zwei 6er bei diesen fünf Würfen?
2.2 Aufgabe 4: Pizza 🍕
Im Kühlregal eines Supermarkts befinden sich 20 Pizzen, von denen leider bei 5 das Mindesthaltbarkeitsdatum bereits deutlich überschritten wurde. Da Sie einen Filmabend mit Freunden planen, kaufen Sie (ohne auf das Ablaufdatum zu achten) 4 Pizzen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei genau einer der 4 gekauften Pizzen das Mindesthaltbarkeitdatum überschritten wurde.
2.3 Aufgabe 5: Lebensversicherung 📊
An insurance sales representative sells policies to 5 men, all of identical age and in good health. According to the actuarial tables, the probability that a man of this particular age will still be alive in 30 years is \(\frac{2}{3}\). Find the probability that in 30 years exactly 4 men will be alive.
2.4 Aufgabe 6: Produktionszeit 📻
The time required to assemble an electronic device is normally distributed with a mean of 12 minutes and a standard deviation of 1.5 minutes. Find the probability (using the z-table) that a particular assembly takes…
- less than 11 minutes
- more than 14 minutes
2.5 Aufgabe 7: Füllmenge 🍸
Die Füllmenge X von Edelspirituosen unterliegt produktionsbedingt natürlichen Schwankungen. Diese Füllmenge sei normalverteilt mit \(\mu=51\) cl und \(\sigma=1\) cl, also \(X \sim N(51,1)\). Berechnen Sie die Wahscheinlichkeit, dass eine Füllmenge von 48.75 cl unterschritten wird.
3 Statistisches Testen (Binomialtest, \(\chi^2\)-Test)
3.1 Aufgabe 8: Qualitätskontrolle 🏭
Von einer Maschine werden 75% der erzeugten Bauteile von der Qualitätskontrolle akzeptiert. Eine Änderung des Produktionsprozesses (in der Hoffnung, diese Rate zu erhöhen) liefert nun in einer Stichprobe von 30 Bauteilen 28 ohne Beanstandung der Qualität. Handelt es sich hierbei um eine signifikante Verbesserung? Testen Sie die Hypothese bei \(\alpha\) = 5% mit einem Binomialtest. Entscheiden Sie sich für oder gegen die Änderung des Produktionsprozesses?
3.2 Aufgabe 9: \(\chi^2\)-Test 🛀
Sie beraten einen Hersteller von Seifenprodukten bei der Wahl eines ansprechenden Verpackungsdesigns. Sie bieten alle drei Designs in einem Drogeriefachhandel an. Der Hersteller beschäftigt sich mit der Frage, ob die Farbe der Verpackung Auswirkungen auf die Verkaufszahlen hat. Hierzu prüfen Sie die Hypothese, dass alle Farben gleich beliebt sind (\(\alpha=5\%\)). Nach der Einführungsphase erhalten Sie die Tabelle mit folgenden Verkaufszahlen:
chisq.test(anzahl, p=c(1/3, 1/3, 1/3), correct=F)
Chi-squared test for given probabilities
data: anzahl
X-squared = 5.46, df = 2, p-value = 0.06522- Formulieren Sie die Null- sowie die Alternativhypothese.
- Zu welcher finalen Testentscheidung kommen Sie? (\(H_0\) beibehalten oder verwerfen?)
- Beschreiben Sie kurz, wie Sie ohne Softwareeinsatz vorgehen würden, nachdem Sie den \(\chi^2\)-Wert von 5.46 errechnet haben.
3.3 Aufgabe 10: \(\chi^2\)-Test 🎁
Sie beraten ein Unternehmen im Waldviertel, welches Mohnspezialitäten herstellt und diese in Geschenkboxen als Mitbringsel für Touristen verkauft. Sie wollen wissen, ob unterschiedliche Verpackungsdesigns bei den Touristen unterschiedlich beliebt sind. Folgende Designs werden angeboten: A: Geschenkkorb, B: Geschenkbox aus Fichtenholz, C: Plastikbox, D: Jutesäckchen).
Sie erhalten folgende Daten (Verkaufszahlen nach einer Woche):
| Design | Design A | Design B | Design C | Design D |
|---|---|---|---|---|
| Stück verkauft | 110 | 115 | 75 | 100 |
Testen Sie die Nullhypothese “alle Designs sind gleich beliebt” bei \(\alpha=\) 5%.
4 Lineare Regression, Korrelation
4.1 Aufgabe 11: Korrelation 📊
Versuchen Sie bei einigen Durchgängen, die Korrelation zu erraten: