# Aufgabe 21
# Thema: Normalverteilung. Fruchtsaft wird von einer Maschine so abgefüllt, 
# dass der Erwartungswert der Füllmenge =101 cl, sigma beträgt bei 0.5 cl. 
# Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich in einer Packung weniger 
# als 1 Liter?

# händischer Weg:
z = (100 - 101)/0.5  # z= -2, damit in die Tabelle.
# 2.28% laut Tabelle.

# R-Lösung:
pnorm(100, mean=101, sd=0.5, lower.tail=TRUE) # ca. 2.28%


# Aufgabe 22:
# X... Länge von Nägeln, X~N(mu=80, sigma=4)
# a) P(X < 78) = ?

z =(78 - 80)/4  # -0.5, damit in die Tabelle.
# 30.85% laut Tabelle.
pnorm(78,mean=80, sd=4, lower.tail=TRUE) # passt!

# b) P(X > 85) = ?
z = (85 - 80)/4  # 1.25.
# damit in die Tabelle -> 89.44%, das ist aber P(X <= 85)
100-89.44  # 10.56% (Gegenwahrscheinlichkeit!)

# c) P(80 <= X <= 85) = ?
# 80 ist genau der Erwartungswert, die NV ist symmetrisch um 80
z = (85-80)/4 # 1.25, wie oben.
# Tabelle: 89.44%, das ist aber P(X <= 85).
# wegen Symmetrie: subtrahiere davon 50%. -> 39.44%

pnorm(85, mean=80, sd=4, lower.tail=TRUE) - pnorm(80, mean=80, sd=4, lower.tail=TRUE)
# 0.3943502 passt!