Statistik

Übungsblatt 1 - Grundlagen, Deskriptivstatistik, Wahrscheinlichkeit, Bayes, diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Übungen

Grundlagen, Notation, beschreibende Statistik, Lineartransformationen

1. Thema: Übungen zur Summen- und Produktnotation. Gegeben ist folgende Datenmatrix mit n=5 Beobachtungen und k=2 Variablen:

	\(X_{i, \,1}\)	\(X_{i, \, 2}\)
\(X_{1, \, j}\)	20	2200
\(X_{2, \, j}\)	30	2400
\(X_{3, \, j}\)	55	3640
\(X_{4, \, j}\)	19	1700
\(X_{5, \, j}\)	40	4800

Berechnen Sie (vereinfachen Sie ggfs. vor der Berechnung):

• 1. \(\displaystyle \sum_{i=1}^{5} x_{i, \, 1}=\)
• 2. \(\displaystyle\sum_{i=1}^{2} x_{i , \, 1} \cdot x_{i, \, 2}=\)
• 3. \(\displaystyle\sum_{i=1}^{4} 2 \cdot x_{i, \, 1}=\)
• 4. \(\displaystyle\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4} x_{i, \, 1}=\)
• 5. \(\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\sum_{j=1}^{2} x_{i, \, j} =\)
• 6. \(\displaystyle \prod_{i=1}^{3} x_{i,\, 2} =\)
• 7. Erklären Sie mit eigenen Worten die Bedeutung der errechneten Kennzahl aus Aufgabe d.

2. Thema: Deskriptivstatistik. Als Qualitätssicherungsbeauftragter kontrollieren Sie die Länge von n=16 Schrauben und erhalten folgende Ergebnisse:

   Messwerte (in mm): 21, 20, 18, 20, 18, 20, 19, 19, 20, 21, 20, 21, 20, 20, 20, 21.

   Erstellen Sie eine Tabelle mit den absoluten (\(f_j\)), relativen (\(r_j\)) und kumulativen relativen Häufigkeiten (\(r_j^+\)).

3. Thema: Maße der zentralen Tendenz. Verwenden Sie die Daten aus Aufgabe 2 und berechnen Sie (auf alle drei äquivalenten Arten) das arithmetische Mittel.

4. Thema: Boxplot. Bestimmen Sie für die Daten aus Aufgabe 2 Minimum und Maximum, das erste und dritte Quartil sowie den Median und erstellen Sie damit ein Boxplot. Hinweis: Die errechneten Kennzahlen sind bekannt als Tukey’s Five-number summary nach dem Statistiker John W. Tukey (1915-2000).

5. Thema: Geometrisches Mittel. Ein Guthaben wird im ersten Jahr zu 2%, im zweiten Jahr zu 3% und im dritten Jahr wieder zu 2% verzinst. Welcher konstante Zinssatz p (in Prozent) hätte den selben Endwert ergeben?

6. Thema: Lineartransformationen. Geben Sie die Daten aus Aufgabe 2 in Excel ein und berechnen Sie das arithmetische Mittel und die Varianz. Führen Sie (in der Spalte daneben) eine Zentrierung aus sowie in der nächsten Spalte eine z-Standardisierung. Wie ändern sich jeweils die beiden Kennzahlen?

7. Thema: Lineartransformationen. Können Sie die beiden Feststellungen auf (Seite 25 und 26) des ersten Foliensatzes (Teil_01.pdf) auch allgemein (unter Verwendung der Summennotation) nachweisen?

8. Thema: z-Standardisierung. Können Sie die Aussage über Mittelwert und Varianz einer z-standardisierten Variable allgemein nachweisen? Sie können die Aussagen auf Seite 25 und 26 des ersten Foliensatzes (Teil_01.pdf) verwenden.

Wiederholung Kombinatorik und einfache Wahrscheinlichkeitsrechnung

9. Thema: Kombinatorik. Bei einem Test zum Thema Allgemeinbildung in einem Assessment-Center sind 10 Aufgaben zu lösen, wobei mindestens 7 gelöst werden müssen um den Test zu bestehen. Auf wie viele verschiedene Arten kann diese Minimalforderung (genau 7 wurden gelöst) realisiert werden?

10. Thema: Kombinatorik. Ein Freizeitsporteam Ihrer Firma besteht aus 15 Hobbysportlern. Es soll ein Obmann, ein Stellvertreter und ein Kassier gewählt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?

11. Thema: Kombinatorik. Aus den 15 Hobbysportlern sollen drei ausgewählt werden (die dann “gleichberechtigt” beim Getränkeauschank mithelfen). Wie viele Möglichkeiten gibt es hier? Was ist der Unterschied zu Aufgabe 10?

12. Thema: Kombinatorik. Leider haben Sie (als Datenbankadministrator der Kundendatenbank Ihrer Firma) das Passwort vergessen. Sie erinnern sich allerdings noch, dass es aus 12 Zeichen bestand, davon vier mal dem Buchstaben “X”, sieben mal dem Rufzeichen (“!”) sowie der Ziffer 7. Wie viele Möglichkeiten der Eingabe benötigen Sie hier “schlimmstenfalls” (vorausgesetzt, das DBMS erlaubt Ihnen eine entsprechend hohe Anzahl an Fehlversuchen)?

13. Thema: Kombinatorik. Weisen Sie die Eigenschaften des Binomialkoeffizienten auf Seite 4 im zweiten Foliensatz (Teil_02.pdf) nach (Hinweis: Einsetzen und Vereinfachen).

14. Thema: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Drei Fachleute versuchen unabhängig voneinander ein gewisses IT-Problem zu lösen. Das Problem wird gelöst, wenn mindestens einer der drei die Lösung findet. Die Lösungswahrscheinlichkeiten betragen jeweils 70%, 45% sowie 60%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird das Problem gelöst? Hinweis: Baumdiagramm, Gegenwahrscheinlichkeit.

15. Thema: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie bereiten sich auf eine Prüfung in Arbeitsrecht vor. Es gibt einen Katalog mit 25 Prüfungsfragen, von welchen Sie 21 vorbereitet haben. Bei der Prüfung werden aus dem Fragenkatalog zwei Fragen (natürlich ohne Zurücklegen) gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit…

    • schaffen Sie die Prüfung mit Auszeichnung, weil beide gezogenen Fragen von Ihnen vorbereitete Fragen waren?
    • bestehen Sie die Prüfung gerade noch, weil sie eine vorbereitete und eine nicht vorbereitete Frage ziehen?
    • fallen Sie durch, da unglücklicherweise beide gezogenen Fragen von nicht vorbereitet wurden?

Hinweis: Baumdiagramm oder Formel für hypergeom. Verteilung

Bayes Theorem, Wahrscheinlichkeitsverteilungen

16. Thema: Totale Wskt, Bayes. Ihr Unternehmen stellt Alarmanlagen her. Diese sind so empfindlich, dass sie bei einem Einbruch mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% Alarm geben. Andere Ereignisse (Erschütterungen, eindringende Tiere) lösen mit 0,5% einen Fehlalarm aus. Die Wahrscheinlichkeit für einen Einbruch in einem gegebenen Zeitraum betrage 10%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei einem Alarm um keinen Fehlalarm handelt?

17. Thema: Totale Wskt, Bayes. In einem Molkereibetrieb werden Milchflaschen von vier Maschinen (\(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) und \(M_4\)) befüllt. Der Anteil der Gesamtproduktion beträgt 10%, 20%, 30% sowie 40% für die Maschinen 1 bis 4. Die Fehlerquoten (Füllmenge einer Milchflasche wird unterschritten) beträgt jeweils 2%, 1%, 4% sowie 2%. Als Qualitätssicherungsbeauftrager ziehen Sie zufällig eine Milchflasche.

    • Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Füllmenge unterschritten?
    • Vorausgesetzt, die Füllmenge wurde unterschritten - mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde diese Flasche von Maschine \(M_3\) befüllt?

18. Thema: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Als Qualitätssicherungsbeauftragter untersuchen Sie eine Produktionsmenge von 20 Transistoren. Von diesen 20 Transistoren sind 3 defekt. Sie entnehmen der Stichprobe 4 Transistoren (ohne Zurücklegen). Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist darin

    1. genau ein defekter Transistor?
    2. nicht mehr als ein defekter Transistor?

19. Thema: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Bei einer Produktpräsentation bei einem Messestand gibt es die Möglichkeit, Preise zu gewinnen. Jeder Kunde darf fünf mal an einem Glücksrad drehen. Das Glücksrad ist in fünf gleich große Sektoren aufgteteilt, wobei genau ein Sektor gewinnt (die anderen zählen als “Nieten”). Wir bezeichnen mit X die Anzahl der Gewinne eines Kunden bei den fünf Durchgängen.

    • Was ist hier \(\Omega_X\), also der Ereignisraum für X (welche Werte kann X theoretisch annehmen)?
    • Welcher Verteilung folgt die Zufallsvariable X und warum?
    • Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde…
      • genau einen Gewinn erzielt
      • maximal einen Gewinn erzielt
      • nicht mehr als zwei Gewinne erzielt.

20. Thema: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Eine Maschine füllt Milchflaschen ab. Die Wahrscheinlichkeit, dass hierbei eine Milchflasche zu Bruch geht, beträgt für jede Flasche konstant 1%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 20 abgefüllten Flaschen

    • 1. keine zu Bruch geht
    • 2. mehr als zwei zu Bruch gehen?