Statistik
Übungsblatt 2 - Inferenz
Übungen
Binomialtest
Von einer Maschine werden 75% der erzeugten Bauteile von der Qualitätskontrolle akzeptiert. Eine Änderung des Produktionsprozesses (in der Hoffnung, diese Rate zu erhöhen) liefert nun in einer Stichprobe von 30 Bauteilen 28 ohne Beanstandung der Qualität. Handelt es sich hierbei um eine signifikante Verbesserung? Testen Sie die Hypothese bei \(\alpha\) = 5% mit einem Binomialtest.
Sie sind verantwortlich für die Evaluierung eines Workshops zum Thema “Rückengesundheit für Produktionsmitarbeiter”. Hierzu wurden freiweillige Teilnehmer gebeten, Ihre Rückenbeschwerden auf einer Skala von 1 (starke Schmerzen) bis 10 (keine Schmerzen) vor und nach einem Gesundheitsworkshop mit einem Physiotherapeuten einzuschätzen. Nachfolgend die Rohdaten
| ID | Geschlecht | \(t_1\) | \(t_2\) | Änderung (+/-) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | m | 5 | 6 | |
| 2 | m | 6 | 7 | |
| 3 | f | 4 | 6 | |
| 4 | m | 5 | 6 | |
| 5 | f | 7 | 5 | |
| 6 | m | 6 | 7 | |
| 7 | m | 5 | 6 | |
| 8 | f | 8 | 9 | |
| 9 | m | 3 | 4 | |
| 10 | m | 7 | 6 |
Überprüfen Sie die Nullhypothese \(H_0:\) “Es gibt keine überzufällige Verbesserung bei den Mitarbeitern” mit einem Binomialtest bei \(\alpha\) = 5% aus. Wie lautet der p-Wert? Zu welcher finalen Entscheidung kommen Sie? Falls Sie Excel zur Verfügung haben - Sie können die Aufgabe auch mit Excel nachrechnen.
\(\chi^2\)-Test für Häufigkeiten und Kontingenztabellen
Ein Hersteller für Motorradzubehör vertreibt Top-cases in unterschiedlichen Farben. Verkauft wurden 420 Stück in schwarz, 130 Stück in dunkelgrau und 70 Stück in weiß. Prüfen Sie die Nullhypothese (\(\alpha\)=5%), dass die “Beliebtheit” schwarz:dunkelgrau:weiß dem Verhältnis 2:1:1 entspricht.
Von 1000 Kunden sind 270 weiblich und empfehlen ein Produkt weiter, 240 weiblich und empfehlen das Produkt nicht weiter. Bei den Männern geben 310 eine Weiterempfehlung ab, der Rest tut dies nicht. Prüfen Sie bei \(\alpha\)=1%, ob es einen Zusammenhang zwischen Geschlecht und Weiterempfehlung (ja/nein) gibt.
Konfidenzintervalle für die relative Häufigkeit
A sample poll of 100 voters chosen at random from all voters in a given district indicated that 55% of them were in favor of a particular candidate. Find 95% confidence limits for the proportion of all voters in favor of this candidate.
Wie Aufgabe 27. Wie würde sich das Konfidenzintervall ändern, wenn wir mit 99%iger Sicherheit eine Aussage über die Zustimmung zum Kandidaten in der Bevölkerung treffen möchten?
Wie Aufgabe 27. Wie würde sich das Konfidenzintervall (95%) ändern, wenn wir in der Umfrage N=1000 Personen befragt hätten?
Für ein (hier 95%iges) Konfidenzintervall für die relative Häufigkeit gilt folgende Formel:
\[p_{1, 2} = r \pm 1.96 \cdot \sqrt{\frac{r(1-r)}{n-1}}\]
Die relative Häufigkeit r hat klarerweise eine Auswirkung auf die “Lage” des Konfidenzintervalls (r liegt genau in der Mitte des Intervalls), aber hat sie auch eine Auswirkung Auswirkung auf die Breite des Intervalls? Falls ja, für welches r wird es am breitesten? Hinweis: Es genügt, den Zähler des Ausdrucks unter der Wurzel zu betrachten (Extremwertaufgabe).